Movimiento armónico simple

 

El movimiento armónico simple (M.A.S) es un movimiento periódico, en el que un punto material o un cuerpo oscila, respecto del punto de equilibrio O con una aceleración proporcional al desplazamiento, aunque de signo opuesto. El movimiento se repite a lo largo de la recta x(t). 

Es consecuencia de una fuerza recuperadora que depende de la distancia a la que se desplaza, según la ley de Hooke. 

F = -kx

Si tenemos un cuerpo de masa m sujeto a un muelle con constante elástica k que se desliza horizontalmente, a partir de la posición de reposo, sobre una superficie sin rozamiento, oscilara a derecha e izquierda de O con un movimiento armónico simple. 

En la imagen se muestra la relación entre el movimiento circular uniforme y el movimiento armónico simple. La proyección del punto que se mueve según un M.C.U. sobre el diámetro horizontal describe sobre el un movimiento armónico simple.

  

En el movimiento circular uniforme, la proyección sobre OX, es decir la coordenada x es:

Análogamente, la ecuación de la posición en el movimiento armónico simple es: 

Aquí:

• A es la amplitud o máxima elongación.
• El argumento ωt + δ es la fase medida en radiaones.
• ω es la pulsación o frecuencia angular, en radianes por segundo.
• t es el tiempo contando desde el momento en que se ha empezado a considerar el movimiento, en segundos.   
• δ es el desfase o la constante de fase, o llamada también fase inicial. Depende de cuando se empieze a contar el tiempo. 

Aquí hay que decir que la formula de la posición puede expresarse tanto con el coseno como en el seno, solamente depende del momento en que fijemos t = 0, ya que: 

El máximo del coseno es +1 y el mínimo -1, por lo que el movimiento oscila entre +A y -A.

La frecuencia angular o pulsación es:

El periodo T es el tiempo que tarda m en realizar una oscilación completa. La frecuencia f es el numero de oscilaciones en la unidad de tiempo. Es la inversa del periodo:

De estos tres valores, pulsación ω, frecuencia f o periodo T, sabiendo uno de ellos, automáticamente sabremos los otros dos. 

En un movimiento armónico simple tanto el periodo T y, por tanto, la frecuencia f son independientes de la amplitud A,

La velocidad se obtiene derivando respecto al tiempo la ecuación de la posición. La formula de la aceleración se obtendrá igualmente derivando la velocidad respecto al tiempo, quedando así:

Cuando la fase inicial δ = 0, estas ecuaciones se reducen a:

Gráficas de las funciones x, v y a cuando δ = 0. En este caso, se habrá comenzado a contar el tiempo del M.A.S. a partir del punto de la máxima elongación x = +A. 

Otra formula (que no demostraremos) para saber la velocidad en función de la posición x, conociendo las condiciones iniciales de amplitud A y el periodo o la frecuencia es:

El signo ± se debe a que, en una oscilación completa, el cuerpo pasa por el mismo punto x en los dos sentidos. 

Ejemplos de movimiento armónico simple 

Ejemplo 1

Una masa de 1 kg esta sujeta a un muelle en reposo, cuya k = 200 N/m. Calcular el periodo y la frecuencia de esta masa cuando se la aparta de la posición de equilibrio y se suelta. 

Solución: 

Ejemplo 2

Un cuerpo realiza un movimiento armónico simple en el que su velocidad máxima es de 0.4 m/s y su aceleración máxima de 16 m/s^2.

Determinar la posición ω , la frecuencia f y el periodo T. ¿Cuál será la ecuación de la posición en función del tiempo?

Solución:

Como la velocidad dada es la máxima y el valor máximo de la función seno es 1, tendremos: 

Si dividimos miembro a miembro la ecuación obtenida de la aceleración máxima por la de la velocidad máxima, por la de la velocidad máxima, nos quedara el valor de la pulsación ω.

Si tenemos el valor de la pulsación, inmediatamente tenemos la frecuencia y el periodo.

En la ecuación de la velocidad máxima y sabiendo la pulsación, obtenemos la amplitud:

Con estos datos podemos escribir la ecuación de la posición en función del tiempo:

Ha quedado sin determinar el valor de δ, el desfase, por no tener suficientemente con los datos iniciales, que han sido suficientes para hallar los valores pedidos, aunque el valor de δ exista. Con las formulas empleadas, pues sabemos que, por ejemplo en la ecuación velocidad, podemos usar seno o coseno, dependiendo de δ, en este caso el desfase seria el siguiente.

  

VÍDEOS DE APOYO

Referencias Bibliográficas

Serra, B. R. (2020). Universo Formulas. Obtenido de MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE: https://www.universoformulas.com/fisica/cinematica/movimiento-armonico-simple/